► Calcul intégral

CALCUL INTEGRAL > Objectif et attendus du programme : contenus, capacités et commentaires

OBJECTIF
Le programme se place dans le cadre de fonctions à valeurs réelles définies sur un intervalle ou une réunion d’intervalles de R.

La diversité des programmes du lycée doit particulièrement inciter à veiller aux connaissances sur les primitives et les intégrales acquises antérieurement ou non par les étudiants. L’accent est mis sur la diversité des approches numérique, graphique et algorithmique, lesquelles contribuent à l’appropriation du concept d’intégrale.

Réf : BOEN Septembre 2013 pages 114/186 et 115/186


Primitives
Primitives de fonctions de référence,opérations algébriques.
Complément : primitives de :
t  → cos(ωt + ϕ)
→ sin (ωt + ϕ),
ω et ϕ étant réels.

CAPACITÉS ATTENDUES
Déterminer des primitives d’une fonction :
→  à la main dans les cas simples ;
→  à l’aide d’un logiciel de calcul formel dans tous les cas.

Déterminer les primitives d’une fonction de la forme :
→ u'un (n entier relatif, différent de – 1),
→ u'/u
→ u'eu

COMMENTAIRES
Pour les primitives de u'/u, on se limite au cas où u est strictement positive.

Intégration
Calcul intégral

Intégrale de a à b de f (x) dx = F(b) – F(a)
où F est une primitive de f .
Propriétés de l’intégrale : relation de Chasles, linéarité et positivité.

CAPACITÉS ATTENDUES
Déterminer des primitives d’une fonction :
→  à la main dans les cas simples ;
→  à l’aide d’un logiciel de calcul formel dans tous les cas.

Déterminer l’aire du domaine défini par :
{M(x, y), a ≤ x ≤ b et f(x) ≤ y ≤ g(x)} où  f et g sont deux fonctions telles que pour tout réel x de [a, b], f(x) ≤ g(x).

COMMENTAIRES
On étudie le cas où  f (resp. g) est la fonction nulle.

On familiarise les étudiants avec quelques exemples de mise en œuvre d’algorithmes liés à des méthodes élémentaires d’approximation d’une intégrale (point-milieu, trapèzes, Monte-Carlo).

Pour les primitives de u'/u, on se limite au cas où u est strictement positive.

Intégration
Calcul d’aires

CAPACITÉS ATTENDUES

Déterminer l’aire du domaine défini par :
{M(x, y), a ≤ x ≤ b et f(x) ≤ y ≤ g(x)} où  f et g sont deux fonctions telles que pour tout réel x de [a, b], f(x) ≤ g(x).


Intégration
Valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle :
définition, interprétation géométrique.

CAPACITÉS ATTENDUES
Déterminer et interpréter la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle.

COMMENTAIRES
Cette notion est illustrée par des exemples issus des disciplines professionnelles.


Intégration
Formule d’intégration par parties.

CAPACITÉS ATTENDUES
Calculer une intégrale par intégration par parties.

COMMENTAIRES
Valeur moyenne, valeur efficace dans un transfert énergétique ; centre d’inertie, moment d’inertie.

Calcul intégral : La notion d'intégrale - La notion de primitive Le calcul intégral - Ses propriétés - La valeur moyenne.

La notion d'intégrale
La notion de primitive
Le calcul intégral  et ses propriétés
La valeur moyenne.

Calcul intégral : Perfectionnement

Primitive: Reconnaître la courbe d'une primitive
Intégrale d'une fonction : résumé du cours Calul Des Primitives et des Integrales (GEOGEBRA)

Décomposition en éléments simples (1)écomposition en éléments simples (2)
Décomposition en éléments simples (3)

Méthode d'intégration : Intégration par parties 
Exercice d'intégrations par parties​
 calculer l'intégrale de 1/(1+2x)

CALCUL INTEGRAL : Valeur moyenne - INTEGRATION PAR PARTIE (IPP)

Intégration par partie (IPP)

A maîtriser
pour les chapitres "Séries de Fourier" et "Lois de probabilités"

→ Integration par parties security Fiche "Aide mémoire" et exercices

Piloter votre formation : Modéliser et simuler pour mieux comprendre !

Modéliser une fonction par intervalles
Exemple: fonctions linéaires et affines
y = f(x) = ax et y = f(x) = ax+b 

Logiciel de géométrie dynamique / Geogebra en ligne : { https://www.geogebra.org/classic?lang=fr }
Télécharger Applications GeoGebra : { https://www.geogebra.org/download?lang=fr }


Fonction de modélisation par intervalle

Lire ou télécharger  la documentation
à télécharger ici
Fonction et intervalles
DOC : Modélisation d'une Fonction triangulaire par intervalles (142.82 Ko)]

 
Le signal triangulaire périodique ci-dessous est constitué
de portions rectilignes (fonctions affines définies par intervalles).

Capturesignaltriangulairefctaffine
Les deux premiers segments forment le motif périodique, la période de ce signal vaut 4.
Le premier segment est la représentation de la fonction f définie sur [0 ; 2] par : f(x)=2,5x
Le deuxième segment est la représentation de la fonction g définie sur [2 ; 4] par: g(x) = -2,5x + 10
Le troisième segment est la représentation de la fonction h définie sur [4 ; 6] par : h(x) = 2,5x - 10
Dans la zone de saisie (située en bas), on saisit
fonction[2.5x,0,2]
[Télécharger iciFonction et intervalles DOC : Modélisation d'une Fonction triangulaire par intervalles (142.82 Ko)]


→  Représenter graphiquement
ces équations
avec GEOGEBRA

Capture mode saisie fonction et intervallesi
Capture modelisation fonction et intervallesi


AIDE :
Déterminer et représenter une équation de droite (Fonction affine)

Illustration du cours : Détermination de Fonctions linéaires et affines
Cliquez ici
  → Trouver l'équation d'une droite et son coefficient directeur

Fonctionsaffines001 1

Des questions ?


→ Comment trouver l'équation d'une droite avec deux points ?
Soient a et b deux réels. L'ensemble des points M(x; y) tels que y = ax + b forme une droite. Celle-ci est la représentation graphique de la fonction affine f qui à x associe ax+b, on dit que c'est la droite d'équation y = ax + b.


→ Comment déterminer l'équation d'une droite linéaire ?
La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère. On dit que l'équation de la droite est : y = ax. a est aussi appelé le coefficient directeur de cette droite.


→ Comment trouver l'équation d'une courbe à partir d'un graphique ?
Trouver une équation de droite à partir du graphique
• Lecture du coefficient directeur : Lorsque x augmente de 1, y augmente de 2. donc le coefficient directeur de D est 2 : a = 2.
• Lecture de l'ordonnée à l'origine : La droite D coupe l'axe des ordonnées au. point d'ordonnée 1.
• Conclusion : On a donc : f(x) = 2x+ 1.


Comment trouver la pente avec 2 points ?
Pour trouver la pente d'une droite, récupérez les coordonnées de deux des points de cette droite, ceux que vous voulez. La pente s'obtient en soustrayant les deux ordonnées de ces points (Y2 moins Y1), puis leurs deux abscisses dans le même ordre (X2 moins X1), et enfin en divisant le premier résultat par le second.


AIDE : DOCUMENTATION GEOGEBRA
Modélisation 3D
  Geogebra 3DGeogebra 3D (3.74 Mo)

Menu "GEOGEBRA" de la fenêtre graphique
Documentation geogebra v5 Documentation geogebra v5 (3.61 Mo)


MODELISATION AVEC GEOGEBRA

Integragle approximation aire par rectanglesIntegrale : Approximation Aire par la méthode des rectangles
Etude de tension Etude d'une Tension électrique périodique
Fonction triangleFonction Triangle
Material sevyzmenSignal triangulaire d'une seule période avec paramétrage par curseur de la fréquence et l'amplitude


Calcul intégral : ÉTUDE D'UNE TENSION PÉRIODIQUE (Partie formateur)

METADONNEES DE L'ACTIVITE


Ressource pédagogique initiale originale :
Dans le cadre de la réforme du BTS, activité proposée en 2014 par groupe de travail d'enseignants de BAC STI, BTS et d'inspecteurs :

Ressource etude d une tensionRessource étude d' une tension - Original (239.89 Ko)


Ressource finalisée et adaptée pour intervention au CFA BTP ALLIER en BTS 1 ère année Electrotechnique pour élèves en statut "Apprenti" :
AUTEURS:

M. Christian Louis MATHIEU
pour adaptation avec réalisation d'une proposition de correction
en langage LaTeX et usage des TICE :
→ Calcul à la main : détermination d'équations de droites (Résolution système d'équations) ,
détermination de la valeur moyenne et de la valeur efficace par le calul iintégral.
Usage de la calculatrice (TI, CASIO et NUMWORKS) : aide à l'usage avec 3 vidéo collaboratives de M. Elias BERRABAH (Professeur agrégé en posteau Lycée général de 
Châteauroux et collaborateur à GEOPROF.FR Clermont)
Usage du calcul formel : calcul des primitives et intégrales à partir des formules des valeurs moyenne et efficace (GEOGEBRA: Fenêtre "Calul formel" / Menu icône "F(x)"
Usage du logiciel de géométrie dynamique (GEOGEBRA V 5) : modélisation et application dsformules via le champ saisie


Objectif principal :
Application du "Calcul Intégral" à l'électricité pour public "Apprentis"  en BTS Electrotechnique (et par extension tout apprenant de filière Génie Electrique)

Objectifs intermédiaires :
- Modéliser une tension périodique (cas pariculier: signal triangulaire périodique de période T = 2 ms et Umax = 10 V)
- Déterminer la valeur moyenne et la valeur efficace par plusieurs méthodes graphique, numériques et calculatoire ; usage des calculatrices courantes (TI 82 ou 83; Casio 25, 35 ou 85 ; Numworks) , utilisation d'appplications numériques de calcul formel et d'un logiciel de géométrie dynamique.

- Effectuer un bilan pour validation et reproductibilité sur autre signal électrique et en vue de la Certification QUALIOPI (Objectifs, compétences, capacités et connaissances, supports pédagogiques).

- Reproduire et valider la séance pour apprentis de la spécialité Fluide Energie Domotique (FED)

Lieu et conditions d'intervention : 
- Salle informatique à 11 ordinateurs pour 11 apprenants de BTS 1ELE

- Séance d'observation organisée par le Directeur pédagogique en présence du Directeur d'Etablissement le  Mercredi 24 mars 2021 de 15h15 à 16h50



FICHE DE SEANCE :
Fiche de seanceFiche de seance (PDF - 161.17 Ko)


DOCUMENT ELEVE
 
Ressource etude d une tension eleveRessource étude d'une tension périodique - Apprenti (PDF - 1.06 Mo)

PROPOSITION DE CORRECTION
Ressource etude d une tension eleve Document Elève : Etude d'une tension périodique - Correction-SSI (1.27 Mo)


PRÉ-REQUIS NÉCESSAIRES

Fonctions linéaires et affines (Niveau collège).
Fonctions périodiques (Niveau BAC Pro).
• Calcul intégral et propriétés de l'intégrale
(Niveau Bac : Primitives et Niveau BTS : Calcul intégral).
• Connaissances de base d'un logiciel de calcul formel et d'un logiciel de géométrie dynamique
(Niveau Bac Pro).

Complément sur les aspects énergétiques :
Connaissances en lien avec la physique appliquée (Electricité et sources d'énergie) :  
Télécharger ici 
Cours les sources d energieRappel de cours "Les sources d énergie" (1.1 Mo) // Auteur : Lycée P. Mendès France Epinal


OBJECTIFS DE L'ACTIVITÉ

Approche numérique et graphique d'une valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle.
• Utilisation d'un logiciel de calcul formel et d'un logiciel de géométrie dynamique.
• Utilisation de la calculatrice pour vérifier les résultats en appliquant la relation de Chasles.


SUJET D'ETUDE
Calcul intégral
ÉTUDE D'UNE TENSION PÉRIODIQUE

DOCUMENT ELEVE
→ 
Ressource etude d une tension eleveRessource étude d'une tension périodique - Apprenti (PDF - 1.06 Mo)


On appelle u ( t ) la tension en volts en fonction du temps t ( en ms ).
Étudions la valeur moyenne < u( t)) > et la valeur efficace U de cette tension u ( t) sur une période.

La valeur efficace d'une tension périodique est la tension continue constante qui dissiperait la même puissance qu'un dipôle purement résistif.
En Physique, on mesure la valeur moyenne <(u (t )> à l'aide d'un voltmètre en position DC, et la valeur efficace U à l'aide d'un voltmètre en position DC+AC.

Oscilloscope

Activité élève : CALCUL INTEGRAL > ÉTUDE D'UNE TENSION PÉRIODIQUE > Valeur moyenne et valeur efficace

Ressource pédagogique originale
Ressource etude d une tension
Ressource étude d' une tension - Original (239.89 Ko)

DOCUMENT ELEVE
Document d'étude d'une tension périodique - ELEVEDocument d'étude d'une tension périodique - ELEVE (1.08 Mo)

On appelle u ( t ) la tension en volts en fonction du temps t ( en ms ).
Étudions la valeur moyenne < u( t)) > et la valeur efficace U de cette tension u ( t) sur une période.

La valeur efficace d'une tension périodique est la tension continue constante qui dissiperait la même puissance qu'un dipôle purement résistif.
En Physique, on mesure la valeur moyenne <(u (t )> à l'aide d'un voltmètre en position DC, et la valeur efficace U à l'aide d'un voltmètre en position DC+AC.

Oscilloscope

Partie A : Méthode par lecture graphique

Valeur de la période T du signal ?
Expression littérale de u(t) sur [ 0 ; T ] ?

Valeur moyenne 〈 u (t) 〉 de u(t) ?


Lectures graphiques :
Le montage ci-dessus nous permet d'avoir le signal u(t) représenté ci-dessous :

1. Déterminer la période T de u(t) .

2. Déterminer l'expression de u(t) en fonction de t sur [0 ;T ]

3. A l'aide de la représentation graphique de u(t) , déterminer 〈 u (t) 〉 sur [0 ; 2]


Capture triangle



Proposition de correction

Cliquer pour visualiser !

Capture graphique

Partie B : méthode par calcul à la main de la Valeur moyenne et de la valeur efficace - Vérification avec calculatrice

Soit u(t) le signal périodique de période T = 2 ms tel que :

Capture valeur intervalles

La valeur moyenne 〈 u (t) 〉 sur [0 ;T ] est donnée par :

Capture valeur moyenne

La  valeur efficace U de la tension u(t) sur l'intervalle [0 ;T ] est donnée par :Capture valeur efficace

Capture valeur efficace au carre

Travail à réaliser

1. En utilisant un logiciel si besoin, calculer la valeur moyenne 〈u (t)〉 sur [0 ; 2] 


 2. En utilisant un logiciel , calculer la valeur efficace
U de  u(t) sur [0 ; 2]

 

3. Vérifier vos résultats à l'aide de votre calculatrice.

Partie B : méthode par calcul à la main de la Valeur moyenne et valeur efficace

Valeur moyenne u (t) 〉  de u(t) ?

1. En utilisant un logiciel si besoin,calculer la valeur moyenne u (t) sur [ 0 ; 2 ] :

Capture valeur moyenne


Proposition de correction

Cliquer pour visualiser !

Capture calcul valeur moyenne

Valeur efficace U de u(t) ?

2. En utilisant un logiciel si besoin, calculer la valeur efficace U de la tension u(t) sur [ 0 ; 2 ] :

Capture valeur efficace  Capture valeur efficace au carre

Proposition de correction

Cliquer pour visualiser !

Calcul Valeur Efficace

Partie B : Usage de la calculatrice pour vérifier les résultats en appliquant la relation de Chasles.

Valeur moyenne 〈 u (t) 〉  de u(t) ?
Valeur efficace U de u(t) ?


Usage de la calculatrice
Texas Instrument 85

Auteur : Tuto édité par M. Elias Berrabah
Professeur agrégé de Mathématiques
(Créé le : 20/03/2021)

Calculatrice partie TICalculatrice TI 85 (6.13 Mo)

Valeur moyenne 〈 u (t) 〉  de u(t) ?
Valeur efficace U de u(t) ?


Usage de la calculatrice
CASIO 35

Auteur : Tuto édité par M. Elias Berrabah
Professeur agrégé de Mathématiques
(Créé le : 20/03/2021)

Calculatrice partie casioCalculatrice CASIOo (10.81 Mo)

Valeur moyenne 〈 u (t) 〉  de u(t) ?
Valeur efficace U de u(t) ?


Usage de la calculatrice
NumWorks

Auteur : Tuto édité par M. Elias Berrabah
Professeur agrégé de Mathématiques
(Créé le : 20/03/2021)

Calculatrice partie numworksCalculatrice NumWorks (6.28 Mo)

Partie C : A l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique

Valeur moyenne 〈 u (t) 〉  de u(t) ?
Valeur efficace U de u(t) ?

1. A l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, tracer la représentation graphique de u(t) sur [0 ; 2] .

2. En déduire la valeur moyenne 〈 u (t) 〉 sur [0 ; 2] .

3. Calculer la valeur efficace U de la tension u(t) sur [0 ; 2] .


Proposition de correction

Cliquer pour visualiser !

Calcul avec logiciel de géométrie dynamique

Complément : Usage d'une application de calcul formel (Primitives + intégrale)

Valeur moyenne 〈 u (t) 〉  de u(t) ?
Valeur efficace U de u(t) ?

utilisation du calcul formel sous geogebra  ou sous Photomath avec le calcul de primitives F(x)

à insérer ...

Complément: Usage d'un tableur / OFFICE 365 / EXCEL

Valeur moyenne 〈 u (t) 〉  de u(t) ?
Valeur efficace U de u(t) ?

utilisation du calcul formel
sous geogebra  ou sous Photomath
avec le calcul de primitives F(x)


à insérer ...

MODELISER UN SIGNAL PERIODIQUE TRIANGULAIRE SUR UNE PERIODE

MODELISER UN SIGNAL PERIODIQUE TRIANGULAIRE SUR UNE PERIODE
U : Amplitude du signal et T : Période du signal

GEOGEBRA V5 / Entrez dans la zone de saisie :
  
Si[x > 0 ∧ x < T / 2, 2 U x / T, Si[x > T / 2 ∧ x < T, 2 U (1 - x / T), 0]]


Capture saisie signal triangulaire   
Capture saisie signal triangulaire curseurs
→ 2 curseurs sont créés, respectivement :

U : Valeur maximale du signal (ou amplitude) et T : Période du signal

→ la fonction dans la fenêtre algèbre s'affiche :
   
 
f(x) = Si(x > 0 ∧ x < 2 / 2, 2 * 13.3 x / 2, Si(x > 2 / 2 ∧ x < 2, 2 * 13.3 (1 - x / 2), 0))

Télécharger  ici Fonction Triangle Période T Amplitude U  (12.37 Ko)
Realiser capture triangle etude de tension une periode t amplitude u


MODELISER UN SIGNAL PERIODIQUE TRIANGULAIRE TRIANGULAIRE INFINI

MODELISER UN SIGNAL PERIODIQUE TRIANGULAIRE INFINI
U : Amplitude du signal
et T : Période du signal

GEOGEBRA V5 / Entrez dans la zone de saisie :
y=A asin(sin(P x))
Capturesignal triangulaire infini
Capture saisie signal triangulaireinfini

→ 2 curseurs sont créés, respectivement
A : Amplitude
et P : Période

Capture triangle infini
 
Source et fonctions vérifiées et testées le 06 mars 2021 {CLM}
https://help.geogebra.org/topic/signal-triangulaire

MODELISER UN SIGNAL PERIODIQUE RECTANGULAIRE INFINI

MODELISER UN SIGNAL PERIODIQUE RECTANGULAIRE INFINI
a : Amplitude du signal et T : Période du signal

GEOGEBRA V5 / Entrez dans la zone de saisie :

f(x)=2 a (floor(x/T) - round(x/T) + 0.5)


Capture saisie signal 02
→ 2 curseurs sont créés, respectivement
a : Amplitude du signal et T : Période du signal

Capture signal rectangle