► MATHÉMATIQUES (Bac Seconde)

Programme de Seconde

1. STATISTIQUE ET PROBABILITÉS
1.1 Statistique à une variable 
1.2 Fluctuations d’une fréquence selon les échantillons, probabilité

2. ALGÈBRE – ANALYSE 
2.1 Résolution d’un problème du 1 er degré
2.2 Notion de fonction
2.3
Calculs commerciaux et financiers [ C ]
2.4 Utilisation de fonctions de référence

3. 1 GÉOMÉTRIE  [ A et B ]

+ OUTILS NUMERIQUES (TICE) 
+ CO-INTERVENTIONS

+ Automatismes
+ Algorithmique et programmation en Python
+ Vocabulaire ensembliste et logique

Réforme Septembre 2019
BOEN Janvier  2019 
→ Math spe628 annexe 1105268 Mathématiques 2019 Seconde

Capacités à développer en Seconde

1.1. Statistiques à 1 variable
Recueillir et organiser  des données statistiques.
[ Regroupement par classes d’une série statistique ] 
Organiser des données statistiques en choisissant un mode de représentation adapté à l'aide des fonctions statistiques d'une calculatrice ou d'un tableur.
Extraire des informations d’une représentation d’une série statistique.

[ Représentation d’une série statistique par un diagramme en secteurs, en bâtons, en colonnes, à lignes brisées ]
Comparer et interpréter des séries statistiques à l’aide d’indicateurs de position et de dispersion calculés avec les fonctions statistiques d'une calculatrice ou d'un tableur.
[ Indicateurs de position : mode, classe modale, moyenne, médiane, quartiles. Indicateurs de dispersion : étendue, écart type, écart interquartile Q3 – Q1. ]
Construire le diagramme en boîte à moustaches associé à une série statistique avec ou sans TIC.
Comparer et interpréter des diagrammes en boîte à moustaches.

[ Diagrammes en boîte à moustaches ]
Exemple d’algorithme : Déterminer la fréquence d’apparition d’une lettre dans un texte. 
1.2. Fluctuation d’une fréquence selon les échantillons, probabilités
Expérimenter pour observer la fluctuation des fréquences (jets de dés, lancers de pièces de monnaie…).
Réaliser une simulation informatique, dans des cas simples, permettant la prise d’échantillons aléatoires de taille n fixée, extraits d’une population où la fréquence p relative à un caractère est connue.
Déterminer l’étendue des fréquences, relatives à un caractère, de la série d’échantillons de taille n obtenus par expérience concrète ou simulation.

[Vocabulaire des probabilités : expérience aléatoire, ensemble des issues (univers), événement, probabilité. Expérience aléatoire à deux issues. Échantillon aléatoire de taille n pour une expérience à deux issues (avec remise). Notion de tirage au hasard et avec remise de n éléments dans une population où la fréquence p relative à un caractère est connue. Fluctuation d’une fréquence relative à un caractère, sur des échantillons de taille n fixée. ]
Estimer la probabilité d'un événement à partir des fréquences.
[ Stabilisation relative des fréquences vers la probabilité de l'événement quand n augmente.]
Calculer la probabilité d'un événement dans le cas d'une situation aléatoire simple.
Faire preuve d'esprit critique face à une situation aléatoire simple.

[ Dénombrements à l’aide de tableaux à double entrée ou d’arbres. ]
Exemples d’algorithmes et d’activités numériques :
- Modifier une simulation donnée (par exemple, en augmentant la taille de l’échantillon pour percevoir une version vulgarisée de la loi des grands nombres : « Lorsque n est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité »).
Utiliser une simulation fournie pour estimer une probabilité non triviale.
Écrire des fonctions permettant de simuler une expérience aléatoire, une répétition d’expériences aléatoires indépendantes.
Commentaires :
- Le vocabulaire des probabilités est présenté en situation.
- Dans le cadre de la programmation, on peut s’intéresser à des exemples pour lesquels l’univers est infini (franc carreau, cible…).
2.1. Résolution d’un problème du 1° degré
Traduire un problème par une équation ou une inéquation du premier degré à une inconnue.
Résoudre algébriquement, graphiquement sans ou avec outils numériques (grapheur, solveur, tableur) :
- une équation du premier degré à une inconnue ;
- une inéquation du premier degré à une inconnue.
Choisir et mettre en œuvre une méthode de résolution adaptée au problème.

[ Équation du premier degré à une inconnue. Inéquation du premier degré à une inconnue. Intervalles de ℝ. ]
Exemple d’algorithme: Formaliser par un organigramme la résolution d’une inéquation du premier degré à une inconnue du type ax < b. 
Commentaires: Aucune virtuosité calculatoire n’est attendue pour la méthode algébrique. 
2.2. Notion de fonction
Exploiter différents modes de représentation d’une fonction et passer de l’un à l’autre (expression, tableau de valeurs, courbe représentative).
Selon le mode de représentation : identifier la variable ; déterminer l’image ou des antécédents éventuels d’un nombre par une fonction définie sur un ensemble donné.
Reconnaître une situation de proportionnalité et déterminer la fonction linéaire qui la modélise.

[Différents modes de représentation d’une fonction (expression, tableau de valeurs, courbe représentative). Variable, fonction, image, antécédent et notation ƒ(x). Intervalles de ℝ.  Fonctions linéaires. ]
Relier courbe représentative et tableau de variations d’une fonction.
Déterminer graphiquement les extremums d’une fonction sur un intervalle.

[Fonction croissante ou décroissante sur un intervalle. Tableau de variations. Maximum, minimum d’une fonction sur un intervalle. ]
Exploiter l’équation y = ƒ(x) d’une courbe :
- vérifier l’appartenance d’un point à une courbe ;
- calculer les coordonnées d’un point de la courbe
[
Courbe représentative d’une fonction ƒ : la courbe d’équation y = ƒ(x) est l’ensemble des points du plan dont les coordonnées (x;y) vérifient y = ƒ(x ]
Représenter graphiquement une fonction affine.
Déterminer l’expression d’une fonction affine à partir de la donnée de deux nombres et de leurs images.
Déterminer graphiquement le coefficient directeur d’une droite non verticale.
Faire le lien entre coefficient directeur et pente dans un repère orthonormé.
Reconnaître que deux droites d’équations données sont parallèles.
Résoudre graphiquement, ou à l’aide d’outils numériques, un système de deux équations du premier degré à deux inconnues.
Construire la parabole représentant la fonction carré et donner son tableau de variations.
Déduire de la courbe représentative d’une fonction ƒ sur un intervalle donné celle de la fonction qui à x associe ƒ(x) + k, où k est un nombre réel donné, sur le même intervalle.
Déduire de la courbe représentative de la fonction carré, l’allure de celle de la fonction définie par ƒ(x) = kx2, où k est un nombre réel donné.
Déduire des variations d’une fonction ƒ sur un intervalle donné celles de la fonction kƒ, où k est un nombre réel donné, sur le même intervalle.

[Fonction affine : courbe représentative ; coefficient directeur et ordonnée à l’origine d’une droite représentant une fonction affine ; équation réduite d’une droite ; sens de variation en fonction du coefficient directeur de la droite qui la représente. Interprétation du coefficient directeur de la droite représentative d’une fonction affine comme taux d’accroissement. Système de deux équations du premier degré à deux inconnues. Courbe représentative de la fonction carré. Sens de variation de la fonction carré]
Dans le cadre de problèmes modélisés par des fonctions, résoudre par une méthode algébrique ou graphique une équation du type ƒ(x) = c ou une inéquation du type  ƒ(x) < c, où c est un réel donné et ƒ une fonction affine ou une fonction du type x ↦ kx2 (avec k réel donné)
[Résolution algébrique ou graphique.]
Exemples d’algorithmes et d’activités numériques:
- Traduire un programme de calcul à l’aide d’une fonction en Python.
- Calculer les images de nombres par une fonction.
- Déterminer l’équation réduite d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées.
- Rechercher un extremum par balayage sur un intervalle donné.
- Rechercher un encadrement ou une valeur approchée d’une solution d’une équation du type ƒ(x) = 0 par balayage sur un intervalle donné.
Commentaires: Lors de la détermination de l’expression d’une fonction affine à partir de la donnée de deux nombres et de leurs images, on se limite à des cas simples, ne conduisant à aucune difficulté calculatoire. Les fonctions sont définies et étudiées sur un intervalle de ℝ.  Les fonctions cube, racine carrée, inverse ou trigonométriques peuvent être évoquées lors de la résolution de problèmes en lien avec le domaine professionnel.  Les droites d’équation x = a ne sont pas un attendu du programme.
2.3.Calculs commerciaux et financiers
Compléter une facture, un bon de commande, réaliser un devis en déterminant dans le cadre de situations professionnelles : un prix ; un coût ; une marge ; une taxe ; une réduction commerciale (remise, rabais, ristourne) ; un taux.
[Pourcentages. Coefficients multiplicateurs]
Calculer le montant:
 - d’un intérêt simple ;
- d’une valeur acquise.
Déterminer graphiquement ou par le calcul :
- un taux annuel de placement ;
- la durée de placement (exprimée en jours, quinzaines, mois ou années) ;
- le montant du capital placé.

[Capital, taux, intérêt, valeur acquise]
Exemples d’algorithmes et d’activités numériques:
- Calculer le montant d’un intérêt simple.
- Calculer le montant net à payer après une remise pour une facture.
Commentaires:
- Si une situation contextualisée utilise un vocabulaire ou une formule spécifique, ce vocabulaire sera explicité et les différents éléments permettant les calculs seront donnés.
- Retrouver le montant du capital placé à partir de la valeur acquise, du taux annuel et de la durée de placement n’est pas un attendu de certification.
- Grandeurs proportionnelles : les partages proportionnels peuvent être traités s’ils sont en liaison directe avec l’enseignement professionnel et s’ils lui sont utiles.- Les droites d’équation x = a ne sont pas un attendu du programme.
3.1. Géométrie
Reconnaître, nommer un solide usuel.
Nommer les solides usuels constituant d'autres solides.
Calculer des longueurs, des mesures d’angles, des aires et des volumes dans les figures ou solides (les formules pour la pyramide, le cône et la boule sont fournies).

[Solides usuels : le cube, le pavé droit, la pyramide, le cylindre droit, le cône, la boule.
Figures planes usuelles : triangle, quadrilatère, cercle. Le théorème de Pythagore et sa réciproque. Le théorème de Thalès dans le triangle. Formule donnant le périmètre d’un cercle. Somme des mesures, en degré, des angles d’un triangle. Formule de l’aire d’un triangle, d’un carré, d'un rectangle, d’un disque. Formule du volume du cube, du pavé droit et du cylindre. ]
Déterminer les effets d’un agrandissement ou d’une réduction sur les longueurs, les aires et les volumes.
 
[Grandeurs proportionnelles.]
Exemples d’algorithmes et d’activités numériques:
- Chercher les triplets d’entiers pythagoriciens jusqu’à 1 000.
- Calculer des aires ou des volumes.
- Calculer le diamètre d’un cylindre connaissant sa hauteur et son volume.
- Calculer l’aire d’un carré de périmètre connu.
- Construire une figure géométrique.
Commentaires:
- L’étude du théorème de Pythagore et de sa réciproque permet de travailler les raisonnements logiques.
- Formaliser par un organigramme la réciproque du théorème de Pythagore est envisageable, mais la prise en compte des nombres flottants complique la programmation si les nombres ne sont pas entiers.
- La proportionnalité peut être réinvestie dans ce domaine, par exemple pour calculer la longueur d’un arc de cercle.
Algorithmique et programmation en Python
Analyser un problème.
Décomposer un problème en sous-problèmes.
Repérer les enchaînements logiques et les traduire en instructions conditionnelles et en boucles.
 [Séquences d’instructions, instructions conditionnelles, boucles bornées (for) et non bornées (while)]
Choisir ou reconnaître le type d’une variable.
Réaliser un calcul à l’aide d’une ou de plusieurs variables.

[Types de variables : entiers, flottants, chaînes de caractères, booléens.Affectation d’une variable]
Modifier ou compléter un algorithme ou un programme.
Concevoir un algorithme ou un programme simple pour résoudre un problème
Comprendre et utiliser des fonctions.
Compléter la définition d’une fonction.
Structurer un programme en ayant recours à es fonctions pour résoudre un problème donné

[Arguments d’une fonction. Valeur(s) renvoyée(s) par une fonction.]
Commentaires:
- Les notions abordées dans ce module ne font pas l’objet d’un cours spécifique et sont travaillées en situation.
- Aucune maîtrise n’est attendue pour les propriétés des différents types de variables.
- Pour les fonctions en Python, on donne aux élèves l’entête de la fonction (nom et arguments).
Automatismes
Calcul d’une fréquence.
Utilisation des pourcentages.
Expression d’un nombre donné en écriture décimale ou fractionnaire sous forme d’un pourcentage et réciproquement.
Calcul d’une moyenne.
Calculs avec les puissances de 10.
Comparaison des fractions simples entre elles ou avec des nombres décimaux
Additions de fractions, multiplication de fractions.
Calculs avec les puissances de 10.
Développement, factorisation, réduction d’expressions littérales.
Transformation de formules (par exemple U = RI, d = vt…), expression d’une variable en fonction des autres.
Résolutions d’équations du type ax = b et a + x = b, avec a et b entiers relatifs.
Utilisation des différentes procédures de calcul d’une quatrième proportionnelle.
Application et calcul d’un pourcentage ou d’une échelle.
Repérage dans un plan rapporté à un repère orthogonal.
Recherche d’image et d’antécédents d’un nombre par une fonction.
Utilisation des procédures de résolution graphique d’équations.
Reconnaissance des configurations de Pythagore et de Thalès.
Détermination d’un arrondi, d’une valeur approchée.
Expression d’un résultat dans une unité adaptée.
Vérification de la cohérence grandeur - unité d’une mesure.
Calcul de l’aire d’un carré, d’un rectangle, d’un disque.
Vocabulaire ensembliste et logique 
Notions d’élément d’un ensemble, de sous-ensemble, d’appartenance et d’inclusion, de réunion, d’intersection et de complémentaire 
Savoir utiliser les symboles de base correspondant : , , ,  
Savoir utiliser la notation des ensembles de nombres et des intervalles du type [a ; b], ]a ; b[, [a ; b[, ]a ; b], avec a et b réels. Ils rencontrent également la notion de couple.
Complémentaire d’un sous-ensemble A de E, on utilise la notation des probabilités Ā 
Raisonnement logique:
- les connecteurs logiques « et », « ou » ;
- le quantificateur « quel que soit » et le quantificateur « il existe » (les symboles et sont hors programme) ;
- des implications et équivalences logiques ;
- la réciproque d’une implication ;
- l’utilisation d’un contre-exemple pour infirmer une proposition universelle ; des raisonnements par disjonction des cas, des raisonnements par l’absurde.
Distinguer les utilisations possibles du symbole « = » (égalité, identité, équation) et le statut des lettres utilisées (variable, indéterminée, inconnue, paramètre). 

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1. STATISTIQUE ET PROBABILITÉS

 

1.1 Statistique à une variable avec TICE

Afficher les caractéristiques statistiques 
(CASIO 35 +) 
Statistiques 1 variable: comparaison de données
à l'aide de GEOGEBRA (
"Boites à moustaches")

Afficher les caractéristiques statistiques 
(TI 83 Premium )
Statistiques à 1 variable
Représentation "
Boites à moustaches"

1.2 Fluctuations d’une fréquence selon les échantillons, probabilité

Intervalle de fluctuation

Prendre une décision à l'aide d'un échantillon​

2. ALGÈBRE – ANALYSE

 

2.2 Résolution d’un problème du 1 er degré

Equations du 1er degré à 1 inconnue
Equations du 1er degré à 2 inconnue​s

Résolution de systèmes d'équations à 2 inconnues (1)
Résolution de systèmes d'équations par combinaison​ (2)

2.3 Notion de fonction

Introduire la notion de fonction
avec geogebra


Calculer l'image d'un nombre
Notion de fonction avec Geogebra

Création de figure GeoGebra
avec un curseur

Résolution graphique d'une inéquation 
de la forme f(x) inférieur à g(x)

2.4 Utilisation de fonctions de référence

Déterminer les variations d'une fonction​
Utilisation de Géogébra pour visualiser
les variations des fonctions de référence

Fonctions numériques (Hyperbole)
Etudier une fonction
avec des valeurs absolues 

3. GÉOMÉTRIE

 

3.1 Géométrie dans l'espace et le plan et 3.2 Géométrie et nombres

3.1 De la géométrie dans l’espace à la géométrie plane
LE COURS : Droites et plans de l'espace

Tracer la section d'un solide par un plan​Démontrer qu'une droite est parallèle à un plan​
EXERCICE : Démontrer que deux plans sont parallèles - Seconde​
Tracer la section d'un solide par un plan​

3.2 Géométrie et nombres
Tutoriel GeoGebra: GIF animé d'une démonstration géométrique.

QCM : L'espaceConstruire des rosaces animées avec Geogebra
GeoGebra Ex74 - Cycloid​